Determine a derivada de $ f(x) = \sin^3(x) $.A) $ 3\sin^2(x)\cos(x) $B) $ 3\sin^2(x)(-\cos(x)) $C) $ 3\sin^3(x)\cos(x) $D) $ 3\sin(x)\cos^2(x) $

Question

Determine a derivada de $ f(x) = \sin^3(x) $.

A) $ 3\sin^2(x)\cos(x) $
B) $ 3\sin^2(x)(-\cos(x)) $
C) $ 3\sin^3(x)\cos(x) $
D) \( 3\sin(x)...

Ed · Answer

Para determinar a derivada de $ f(x) = \sin^3(x) $, vamos usar a regra da cadeia.

1. **Identificamos a função externa e a interna**:
   - Função externa: $ u^3 $ onde $ u = \sin(x) $
   - Função interna: $ \sin(x) $

2. **Derivada da função externa**:
   - A derivada de $ u^3 $ é $ 3u^2 $.

3. **Derivada da função interna**:
   - A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $.

4. **Aplicando a regra da cadeia**:
   $$
   f'(x) = 3\sin^2(x) \cdot \cos(x)
   $$

Agora, analisando as alternativas:

A) $ 3\sin^2(x)\cos(x) $ - Correta!  
B) $ 3\sin^2(x)(-\cos(x)) $ - Incorreta, pois o sinal está errado.  
C) $ 3\sin^3(x)\cos(x) $ - Incorreta, pois a potência de $ \sin $ está errada.  
D) $ 3\sin(x)\cos^2(x) $ - Incorreta, pois a potência de $ \sin $ está errada.

Portanto, a alternativa correta é: **A) $ 3\sin^2(x)\cos(x) $**.

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Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \).

A) \( \tan^{-1}(x) + C \)
B) \( \sec^{-1}(x) + C \)
C) \( \ln(x^2 + 1) + C \)
D) \( \sin^{-1}(x) + C \)

Determine a derivada de \( f(x) = e^{\sin(x)} \).

A) \( e^{\sin(x)} \cos(x) \)
B) \( e^{\sin(x)} \sin(x) \)
C) \( e^{\sin(x)} \tan(x) \)
D) \( e^{\sin(x)} \cdot \sin(x) \)

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Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \).A) \( \tan^{-1}(x) + C \)B) \( \sec^{-1}(x) + C \)C) \( \ln(x^2 + 1) + C \)D) \( \sin^{-1}(x) + C \)

Determine a derivada de \( f(x) = e^{\sin(x)} \).A) \( e^{\sin(x)} \cos(x) \)B) \( e^{\sin(x)} \sin(x) \)C) \( e^{\sin(x)} \tan(x) \)D) \( e^{\sin(x)} \cdot \sin(x) \)

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A) \( \tan^{-1}(x) + C \)
B) \( \sec^{-1}(x) + C \)
C) \( \ln(x^2 + 1) + C \)
D) \( \sin^{-1}(x) + C \)

Determine a derivada de \( f(x) = e^{\sin(x)} \).

A) \( e^{\sin(x)} \cos(x) \)
B) \( e^{\sin(x)} \sin(x) \)
C) \( e^{\sin(x)} \tan(x) \)
D) \( e^{\sin(x)} \cdot \sin(x) \)