Qual é a forma algébrica de z = 2e^{i\frac{\pi}{4}}? A) \( \sqrt{2} + \sqrt{2}i \) B) 2 + 2i C) \( 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i \) D) 1 + i

Para encontrar a forma algébrica de \( z = 2e^{i\frac{\pi}{4}} \), podemos usar a fórmula de Euler, que diz que \( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \). 1. Primeiro, calculamos \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \) e \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \): - \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) 2. Agora, substituímos na expressão: \[ z = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] 3. Simplificando: \[ z = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot i \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2}i \] Portanto, a forma algébrica de \( z \) é \( \sqrt{2} + \sqrt{2}i \). A alternativa correta é: A) \( \sqrt{2} + \sqrt{2}i \).