Determine a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\).

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Para determinar a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \), podemos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função na forma \( \frac{u}{v} \), a derivada é dada por: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Neste caso, temos: - \( u = 1 \) e \( u' = 0 \) - \( v = x^2 + 1 \) e \( v' = 2x \) Substituindo na fórmula: \[ f'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 1 \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} \] Isso simplifica para: \[ f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \] Portanto, a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) é: \[ f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} \]

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Calcule a integral \(\int (2x^3 - 5x^2 + 3) \, dx\).

\(\frac{1}{2}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x + C\). Explicação: Use a regra de potência para integrar cada termo.

Encontre a derivada de \(f(x) = e^{3x}\).

Resposta: \(f'(x) = 3e^{3x}\). Explicação: A derivada de \(e^{u}\) é \(e^{u} \cdot u'\).

Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\).

Resposta: \(-\frac{1}{x} + C\). Explicação: Reescreva \(\frac{1}{x^2}\) como \(x^{-2}\) e integre.

Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\).

Resposta: \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\). Explicação: Use a regra da cadeia para derivar \(\ln(u)\).

Calcule a integral \(\int_0^1 x e^{x^2} \, dx\).

Resposta: \(\frac{1}{2}(e - 1)\). Explicação: Use a substituição \(u = x^2\), \(du = 2x \, dx\).

Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\).

Resposta: 1. Explicação: Este é um limite fundamental em Cálculo.

Calcule a integral \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx\).

Resposta: \(\sinh^{-1}(x) + C\). Explicação: Use a substituição \(x = \sinh(t)\).

Calcule a integral \(\int x \ln(x) \, dx\).

Resposta: \(\frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C\). Explicação: Use a integração por partes.

Encontre a derivada de \(f(x) = \tan^{-1}(x)\).

Resposta: \(f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}\). Explicação: Use a fórmula conhecida para a derivada da função arco-tangente.

Calcule a integral \(\int e^{-x^2} \, dx\).

Resposta: Não pode ser expressa em termos de funções elementares. Usualmente expressa-se usando a função erro.

Cálculo

Determine a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\).

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