Encontre o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\).

Para encontrar o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que a forma é indeterminada \( \frac{0}{0} \). 1. Identifique a forma indeterminada: Quando \(x \to 0\), \(\ln(1 + x) \to \ln(1) = 0\) e \(x \to 0\). Portanto, temos \(\frac{0}{0}\). 2. Aplique a regra de L'Hôpital: Derivamos o numerador e o denominador: - Derivada de \(\ln(1 + x)\) é \(\frac{1}{1 + x}\). - Derivada de \(x\) é \(1\). 3. Reescreva o limite: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} \] 4. Calcule o limite: Quando \(x \to 0\), \(\frac{1}{1 + x} \to \frac{1}{1} = 1\). Portanto, o valor do limite é: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]