Problema: Calcule \(\int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx\).

Para resolver a integral \(\int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx\), podemos usar uma substituição. Vamos definir: \[ u = e^{2x} \implies du = 2e^{2x} \, dx \implies dx = \frac{du}{2u} \] Agora, substituímos na integral: \[ \int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx = \int \frac{u}{u^2 + 1} \cdot \frac{du}{2u} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du \] A integral \(\int \frac{1}{u^2 + 1} \, du\) é uma integral conhecida, cujo resultado é \(\tan^{-1}(u)\). Portanto, temos: \[ \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = \frac{1}{2} \tan^{-1}(u) + C \] Substituindo \(u = e^{2x}\) de volta, obtemos: \[ \frac{1}{2} \tan^{-1}(e^{2x}) + C \] Assim, a solução da integral é: \[ \int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx = \frac{1}{2} \tan^{-1}(e^{2x}) + C \]