Problema: Resolva e^x + e^{-x} = 5. Resposta: x = ±ln((5 + √21)/2). Explicação: Use a identidade e^x + e^{-x} = 2 cosh(x) e resolva para x.

Para resolver a equação \( e^x + e^{-x} = 5 \), podemos usar a identidade \( e^x + e^{-x} = 2 \cosh(x) \). Assim, a equação se torna: \[ 2 \cosh(x) = 5 \] Dividindo ambos os lados por 2, temos: \[ \cosh(x) = \frac{5}{2} \] Agora, aplicamos a função inversa do cosseno hiperbólico: \[ x = \cosh^{-1}\left(\frac{5}{2}\right) \] Sabemos que \( \cosh^{-1}(y) = \ln(y + \sqrt{y^2 - 1}) \). Portanto: \[ x = \ln\left(\frac{5}{2} + \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 1}\right) \] Calculando \( \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 1 \): \[ \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 1 = \frac{25}{4} - 1 = \frac{25}{4} - \frac{4}{4} = \frac{21}{4} \] Assim, temos: \[ \sqrt{\frac{21}{4}} = \frac{\sqrt{21}}{2} \] Substituindo de volta, obtemos: \[ x = \ln\left(\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}\right) = \ln\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) \] Como a função cosseno hiperbólico é par, temos também a solução negativa: \[ x = -\ln\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) \] Portanto, as soluções são: \[ x = \pm \ln\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) \]