Determine uma transformação linear T : IR2 → IR3 cuja imagem seja gerada pelos vetores v1 = (1, 1, 1) e v2 = (0, 1, 1).

Para determinar uma transformação linear \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \) cuja imagem seja gerada pelos vetores \( \mathbf{v_1} = (1, 1, 1) \) e \( \mathbf{v_2} = (0, 1, 1) \), podemos definir a transformação \( T \) da seguinte forma: Seja \( \mathbf{x} = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 \). Podemos expressar \( T \) como: \[ T(\mathbf{x}) = x_1 \mathbf{v_1} + x_2 \mathbf{v_2} \] Substituindo os vetores \( \mathbf{v_1} \) e \( \mathbf{v_2} \): \[ T(\mathbf{x}) = x_1 (1, 1, 1) + x_2 (0, 1, 1) = (x_1, x_1 + x_2, x_1 + x_2) \] Assim, a transformação linear \( T \) pode ser escrita como: \[ T(x_1, x_2) = (x_1, x_1 + x_2, x_1 + x_2) \] Essa transformação gera a imagem desejada, que é o espaço gerado pelos vetores \( \mathbf{v_1} \) e \( \mathbf{v_2} \).