Verificar se a transformação T: ????2 → ????3, T(x,y) = (x, y, x+y) é linear. (Valor da questão: 1,0)

Para verificar se a transformação \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \) dada por \( T(x,y) = (x, y, x+y) \) é linear, precisamos checar duas propriedades: 1. Aditividade: \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) para todos \( u, v \in \mathbb{R}^2 \). 2. Homogeneidade: \( T(cu) = cT(u) \) para todo \( u \in \mathbb{R}^2 \) e \( c \in \mathbb{R} \). Vamos verificar: 1. Aditividade: Sejam \( u = (x_1, y_1) \) e \( v = (x_2, y_2) \). Então, \( u + v = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \). Agora, calculamos \( T(u + v) \): \[ T(u + v) = T(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, x_1 + y_1 + x_2 + y_2) \] Agora, calculamos \( T(u) + T(v) \): \[ T(u) = (x_1, y_1, x_1 + y_1) \quad \text{e} \quad T(v) = (x_2, y_2, x_2 + y_2) \] Portanto, \[ T(u) + T(v) = (x_1, y_1, x_1 + y_1) + (x_2, y_2, x_2 + y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2)) \] Como \( T(u + v) = T(u) + T(v) \), a propriedade de aditividade é satisfeita. 2. Homogeneidade: Seja \( u = (x, y) \) e \( c \in \mathbb{R} \). Então, \( cu = (cx, cy) \). Agora, calculamos \( T(cu) \): \[ T(cu) = T(cx, cy) = (cx, cy, cx + cy) \] Agora, calculamos \( cT(u) \): \[ T(u) = (x, y, x + y) \quad \Rightarrow \quad cT(u) = c(x, y, x + y) = (cx, cy, c(x + y)) = (cx, cy, cx + cy) \] Como \( T(cu) = cT(u) \), a propriedade de homogeneidade também é satisfeita. Como ambas as propriedades são satisfeitas, podemos concluir que a transformação \( T \) é linear.