Use o metodo de eliminação de Gauss-Jordan ou a regra de Cramer e determine a solução do sistema {2x-r-z=2 x+r-2z=1 x-2r+z=1

Para resolver o sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss-Jordan, vamos primeiro escrever o sistema na forma de matriz aumentada: \[ \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 & | & 2 \\ 1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & -2 & 1 & | & 1 \end{bmatrix} \] Agora, vamos aplicar o método de eliminação de Gauss-Jordan: 1. Primeiro, vamos fazer a primeira linha ter um 1 na primeira coluna. Para isso, podemos trocar a segunda linha pela primeira: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 2 & -1 & -1 & | & 2 \\ 1 & -2 & 1 & | & 1 \end{bmatrix} \] 2. Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha). Para isso, fazemos as operações: - Linha 2: \( L_2 - 2L_1 \) - Linha 3: \( L_3 - L_1 \) \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 0 & -3 & 3 & | & 0 \\ 0 & -3 & 3 & | & 0 \end{bmatrix} \] 3. Agora, vamos simplificar a segunda linha. Dividimos a segunda linha por -3: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & -3 & 3 & | & 0 \end{bmatrix} \] 4. Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô da segunda linha. Para isso, fazemos: - Linha 3: \( L_3 + 3L_2 \) \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \] 5. Agora, vamos voltar para a primeira linha e eliminar o segundo elemento. Para isso, fazemos: - Linha 1: \( L_1 - L_2 \) \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \] 6. Agora, podemos expressar as variáveis. Temos: - \( x - z = 1 \) → \( x = z + 1 \) - \( r - z = 0 \) → \( r = z \) Assim, podemos expressar a solução em termos de \( z \): \[ \begin{cases} x = z + 1 \\ r = z \\ z = z \end{cases} \] Portanto, a solução do sistema é: \[ (x, r, z) = (z + 1, z, z) \quad \text{para qualquer } z \in \mathbb{R}. \] Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, dependendo do valor de \( z \).