Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dt} = y + 1 \) usando o método de Euler, com a condição inicial \( y(0) = 1 \), intervalo \([0, 0.5]\) e passo temporal \( \Delta t = 0.1 \), siga os passos abaixo: 1. Defina os parâmetros: - \( y_0 = 1 \) (condição inicial) - \( t_0 = 0 \) - \( \Delta t = 0.1 \) - Número de passos: \( n = \frac{0.5 - 0}{0.1} = 5 \) 2. Aplique o método de Euler: A fórmula do método de Euler é: \[ y_{n+1} = y_n + f(t_n, y_n) \cdot \Delta t \] onde \( f(t, y) = y + 1 \). 3. Cálculos passo a passo: - Passo 0: \( t_0 = 0 \), \( y_0 = 1 \) - Passo 1: \[ y_1 = y_0 + (y_0 + 1) \cdot \Delta t = 1 + (1 + 1) \cdot 0.1 = 1 + 0.2 = 1.2 \] - Passo 2: \[ y_2 = y_1 + (y_1 + 1) \cdot \Delta t = 1.2 + (1.2 + 1) \cdot 0.1 = 1.2 + 0.22 = 1.42 \] - Passo 3: \[ y_3 = y_2 + (y_2 + 1) \cdot \Delta t = 1.42 + (1.42 + 1) \cdot 0.1 = 1.42 + 0.242 = 1.662 \] - Passo 4: \[ y_4 = y_3 + (y_3 + 1) \cdot \Delta t = 1.662 + (1.662 + 1) \cdot 0.1 = 1.662 + 0.2662 = 1.9282 \] - Passo 5: \[ y_5 = y_4 + (y_4 + 1) \cdot \Delta t = 1.9282 + (1.9282 + 1) \cdot 0.1 = 1.9282 + 0.29282 = 2.22102 \] 4. Resultado: Arredondando para quatro casas decimais, temos: \[ y(0.5) \approx 2.221 \] Portanto, a solução da equação diferencial utilizando o método de Euler é aproximadamente \( 2.221 \).