Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dt} = y \) com a condição inicial \( y(0) = 1 \) utilizando o método do ponto médio, siga os passos abaixo: 1. Defina o intervalo e o passo: Temos o intervalo \([0, 4]\) e o passo \( \Delta t = 1 \). Portanto, os pontos de avaliação são \( t_0 = 0, t_1 = 1, t_2 = 2, t_3 = 3, t_4 = 4 \). 2. Condição inicial: Começamos com \( y(0) = 1 \). 3. Cálculo dos valores: - Para \( t_0 = 0 \): \[ y_0 = 1 \] - Para \( t_1 = 1 \): - Calcule \( t_m = t_0 + \frac{\Delta t}{2} = 0 + 0.5 = 0.5 \) - Calcule \( y_m = y_0 + \frac{\Delta t}{2} \cdot f(t_0, y_0) = 1 + 0.5 \cdot 1 = 1.5 \) - Agora, calcule \( y_1 = y_0 + \Delta t \cdot f(t_m, y_m) = 1 + 1 \cdot 1.5 = 2.5 \) - Para \( t_2 = 2 \): - \( t_m = 1.5 \) - \( y_m = 2.5 + 0.5 \cdot 2.5 = 3.75 \) - \( y_2 = 2.5 + 1 \cdot 3.75 = 6.25 \) - Para \( t_3 = 3 \): - \( t_m = 2.5 \) - \( y_m = 6.25 + 0.5 \cdot 6.25 = 9.375 \) - \( y_3 = 6.25 + 1 \cdot 9.375 = 15.625 \) - Para \( t_4 = 4 \): - \( t_m = 3.5 \) - \( y_m = 15.625 + 0.5 \cdot 15.625 = 23.4375 \) - \( y_4 = 15.625 + 1 \cdot 23.4375 = 39.0625 \) 4. Resultado: A solução da equação diferencial no ponto \( t = 4 \) é \( y(4) = 39.0625 \). Portanto, a resposta correta é \( 39.0625 \).