Se I é um número complexo e Ī o seu conjugado, então, o número de soluções da equação Ī = I2 é: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Para resolver a equação \( \bar{I} = I^2 \), onde \( I \) é um número complexo e \( \bar{I} \) é o seu conjugado, vamos considerar \( I = x + yi \), onde \( x \) e \( y \) são números reais. O conjugado de \( I \) é \( \bar{I} = x - yi \) e o quadrado de \( I \) é: \[ I^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi - y^2 = (x^2 - y^2) + (2xy)i \] Agora, igualando as partes real e imaginária da equação \( \bar{I} = I^2 \): 1. Parte real: \( x = x^2 - y^2 \) 2. Parte imaginária: \( -y = 2xy \) Vamos analisar a segunda equação: Se \( y = 0 \), temos \( -0 = 0 \), e a primeira equação se torna \( x = x^2 \), que tem soluções \( x = 0 \) ou \( x = 1 \). Portanto, temos duas soluções: \( I = 0 \) e \( I = 1 \). Se \( y \neq 0 \), podemos dividir a segunda equação por \( y \) (já que \( y \neq 0 \)): \[ -1 = 2x \implies x = -\frac{1}{2} \] Substituindo \( x = -\frac{1}{2} \) na primeira equação: \[ -\frac{1}{2} = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - y^2 \implies -\frac{1}{2} = \frac{1}{4} - y^2 \implies y^2 = \frac{3}{4} \implies y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] Assim, temos duas soluções adicionais: \( I = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) e \( I = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \). Portanto, no total, temos 4 soluções: 1. \( I = 0 \) 2. \( I = 1 \) 3. \( I = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) 4. \( I = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \) A resposta correta é: E) 4.