Um campo de forças f radial no plano é da forma f(x, y) = f(r)r, em que r = xi + yj e r = ||r||. Mostre que esse campo é conservativo.

Para mostrar que o campo de forças \( \mathbf{f}(x, y) = f(r) \mathbf{r} \), onde \( \mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} \) e \( r = ||\mathbf{r}|| \), é conservativo, precisamos verificar se ele é o gradiente de uma função escalar. 1. Definição de campo conservativo: Um campo de vetores \( \mathbf{F} \) é conservativo se existe uma função escalar \( \phi(x, y) \) tal que \( \mathbf{F} = \nabla \phi \). Além disso, um campo é conservativo se a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho, mas apenas dos pontos finais. 2. Verificação da condição de conservatividade: Para um campo de duas dimensões, podemos usar o teste de conservatividade que envolve a condição de que a circulação do campo ao longo de um caminho fechado deve ser zero. Isso é garantido se as derivadas parciais satisfazem a condição de igualdade de misturas: \[ \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial F_x}{\partial y} \] 3. Cálculo das componentes: - A componente \( F_x = f(r) x \) - A componente \( F_y = f(r) y \) 4. Cálculo das derivadas: - \( \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(f(r) y) = y \frac{df}{dr} \frac{\partial r}{\partial x} = y \frac{df}{dr} \frac{x}{r} \) - \( \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(f(r) x) = x \frac{df}{dr} \frac{\partial r}{\partial y} = x \frac{df}{dr} \frac{y}{r} \) 5. Igualando as derivadas: \[ \frac{\partial F_y}{\partial x} = y \frac{df}{dr} \frac{x}{r} \quad \text{e} \quad \frac{\partial F_x}{\partial y} = x \frac{df}{dr} \frac{y}{r} \] Ambas são iguais, portanto: \[ \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial F_x}{\partial y} \] 6. Conclusão: Como as condições para que o campo seja conservativo são satisfeitas, podemos concluir que o campo de forças \( \mathbf{f}(x, y) = f(r) \mathbf{r} \) é conservativo. Assim, o campo é conservativo, e existe uma função potencial \( \phi \) tal que \( \mathbf{f} = \nabla \phi \).