Qual é a derivada da função f(x) = ln(x^2 + 1) em relação a x? a) 2x / (x^2 + 1) b) 2x / ln(x^2 + 1) c) 2x / (x^2 + 1)^2 d) (2x) / (x^2 + 1)

Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), vamos usar a regra da cadeia. A derivada do logaritmo natural é dada por: \[ f'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) \] onde \( g(x) = x^2 + 1 \). Primeiro, calculamos \( g'(x) \): \[ g'(x) = 2x \] Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)} \) - Correto! b) \( \frac{2x}{\ln(x^2 + 1)} \) - Incorreto. c) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) - Incorreto. d) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)} \) - Correto, mas é a mesma resposta que a alternativa (a). Portanto, a resposta correta é a) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)} \).