67. **Problema 67**: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx\). A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(x^2 + 2x + 1\). 1. A antiderivada de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\). 2. A antiderivada de \(2x\) é \(x^2\). 3. A antiderivada de \(1\) é \(x\). Portanto, a antiderivada da função \(x^2 + 2x + 1\) é: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + x \] Agora, vamos calcular a integral definida de \(0\) a \(1\): \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \(F(1)\): \[ F(1) = \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3} \] Calculando \(F(0)\): \[ F(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 = 0 \] Portanto: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} \] Como \(\frac{7}{3} \approx 2.33\), a alternativa correta mais próxima é: B) 2.