Qual é o valor de \( \tan(15^ extcirc) \? a) \( 2 - \sqrt{3} \) b) \( \sqrt{3} - 2 \) c) \( 1 \) d) \( 0 \)

Para calcular \( \tan(15^\circ) \), podemos usar a fórmula da tangente da diferença de ângulos: \[ \tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a) \tan(b)} \] Podemos escolher \( a = 45^\circ \) e \( b = 30^\circ \), pois sabemos os valores das tangentes desses ângulos: \[ \tan(45^\circ) = 1 \quad \text{e} \quad \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Substituindo na fórmula: \[ \tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ) \tan(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Simplificando: \[ = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \] Multiplicando numerador e denominador por \( \sqrt{3} - 1 \): \[ = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \] Portanto, o valor de \( \tan(15^\circ) \) é \( 2 - \sqrt{3} \). A alternativa correta é: a) \( 2 - \sqrt{3} \).