Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^6 + 1} \, dx\), podemos usar a substituição e a decomposição em frações parciais. A integral \(\int \frac{1}{x^6 + 1} \, dx\) pode ser complexa, mas uma abordagem comum é reconhecer que \(x^6 + 1\) pode ser fatorado e que a integral pode ser relacionada a funções trigonométricas inversas. Após a resolução, a integral resulta em uma forma que envolve a função \(\tan^{-1}(x^2)\). Analisando as alternativas: A) \(\frac{1}{6} \tan^{-1}(x^2) + C\) - Pode ser uma possibilidade. B) \(\frac{1}{3} \tan^{-1}(x^2) + C\) - Também pode ser uma possibilidade. C) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x^2) + C\) - Pode ser uma possibilidade. D) \(\frac{1}{x^2} + C\) - Não parece correta, pois não se relaciona com a integral dada. Após a análise e considerando a forma correta da integral, a alternativa correta é: B) \(\frac{1}{3} \tan^{-1}(x^2) + C\).