Para resolver a integral \( \int_0^1 (1-x^2)^{10} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = 1 - x^2 \). Assim, temos: 1. A derivada de \( u \) em relação a \( x \) é \( du = -2x \, dx \), ou seja, \( dx = -\frac{du}{2\sqrt{1-u}} \). 2. Quando \( x = 0 \), \( u = 1 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 0 \). A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^{10} \left(-\frac{du}{2\sqrt{1-u}}\right) = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{10} (1-u)^{-1/2} \, du \] Essa integral pode ser resolvida usando a função beta: \[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt \] Neste caso, temos \( x = 11 \) e \( y = \frac{1}{2} \): \[ \int_0^1 u^{10} (1-u)^{-1/2} \, du = B(11, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(11) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(11 + \frac{1}{2})} \] Sabendo que \( \Gamma(11) = 10! \) e \( \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} \), e usando a propriedade da função gama, podemos calcular: \[ \Gamma(11 + \frac{1}{2}) = \frac{20!}{2^{20}} \cdot \sqrt{\pi} \] Assim, a integral se torna: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{10! \cdot \sqrt{\pi}}{\frac{20!}{2^{20}} \cdot \sqrt{\pi}} = \frac{2^{20} \cdot 10!}{2 \cdot 20!} \] Após simplificações, o resultado final da integral é: \[ \int_0^1 (1-x^2)^{10} \, dx = \frac{1}{22} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{22} \).