Determine as raízes da equação z^3 - 1 = 0. A) 1, -1/2 + i√3/2, -1/2 - i√3/2 B) 1, 1, 1 C) 1, 0, 0 D) 1, -1, 0

Para determinar as raízes da equação \( z^3 - 1 = 0 \), podemos reescrevê-la como \( z^3 = 1 \). As raízes da unidade são dadas pela fórmula: \[ z_k = \text{cis}\left(\frac{2k\pi}{n}\right) \quad \text{para } k = 0, 1, 2 \] onde \( n \) é o grau da equação (neste caso, 3) e \( \text{cis}(\theta) = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \). Calculando as raízes: 1. Para \( k = 0 \): \[ z_0 = \text{cis}(0) = 1 \] 2. Para \( k = 1 \): \[ z_1 = \text{cis}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \] 3. Para \( k = 2 \): \[ z_2 = \text{cis}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \] Portanto, as raízes da equação \( z^3 - 1 = 0 \) são: \[ 1, -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \] Assim, a alternativa correta é a) 1, -1/2 + i√3/2, -1/2 - i√3/2.