Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 4) \, dx\)? a) 1 b) 2 c) 0 d) -1

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 4) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^3 - 4x^2 + 4\). 1. A antiderivada de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A antiderivada de \(-4x^2\) é \(-\frac{4x^3}{3}\). 3. A antiderivada de \(4\) é \(4x\). Assim, a antiderivada \(F(x)\) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 4x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): - \(F(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{4 \cdot 1^3}{3} + 4 \cdot 1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 4\) - Para somar, precisamos de um denominador comum, que é 12: - \(F(1) = \frac{3}{12} - \frac{16}{12} + \frac{48}{12} = \frac{3 - 16 + 48}{12} = \frac{35}{12}\) - \(F(0) = \frac{0^4}{4} - \frac{4 \cdot 0^3}{3} + 4 \cdot 0 = 0\) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 4) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{35}{12} - 0 = \frac{35}{12} \] Como \(\frac{35}{12}\) não está entre as opções, vamos verificar se houve algum erro nas opções ou no cálculo. No entanto, a integral não resulta em nenhum dos valores fornecidos (1, 2, 0, -1). Portanto, parece que a questão pode estar incorreta ou incompleta. Se precisar de mais ajuda, você pode criar uma nova pergunta!