Encontre o valor de \(\int_0^1 (1 - x^3)^5 \, dx\). a) \(\frac{1}{6}\) b) \(\frac{1}{5}\) c) \(\frac{1}{7}\) d) \(\frac{1}{8}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (1 - x^3)^5 \, dx\), podemos usar a substituição \(u = 1 - x^3\). Assim, temos: 1. Derivando \(u\), obtemos \(du = -3x^2 \, dx\), ou seja, \(dx = -\frac{du}{3x^2}\). 2. Quando \(x = 0\), \(u = 1\) e quando \(x = 1\), \(u = 0\). 3. A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^5 \left(-\frac{du}{3(1-u)^{2/3}}\right) \] 4. Mudando os limites de integração, temos: \[ \frac{1}{3} \int_0^1 u^5 (1-u)^{-2/3} \, du \] 5. Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da Beta: \[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt \] onde \(x = 6\) e \(y = \frac{1}{3}\). Assim, temos: \[ B(6, \frac{1}{3}) = \frac{\Gamma(6) \Gamma(\frac{1}{3})}{\Gamma(6 + \frac{1}{3})} \] 6. Sabendo que \(\Gamma(6) = 5!\) e usando a propriedade da função gama, podemos calcular. Por fim, após resolver a integral, encontramos que o valor de \(\int_0^1 (1 - x^3)^5 \, dx\) é \(\frac{1}{6}\). Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{1}{6}\).