Problema 88: Um dado é lançado 4 vezes. Qual é a probabilidade de que o número 2 apareça exatamente uma vez? a) 0.20 b) 0.25 c) 0.30 d) 0.35

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial, que é adequada para situações em que temos um número fixo de tentativas (neste caso, 4 lançamentos de dado) e queremos saber a probabilidade de um evento específico ocorrer um número determinado de vezes (neste caso, o número 2 aparecendo exatamente uma vez). A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de tentativas (4 lançamentos), - \( k \) é o número de sucessos desejados (1 vez o número 2), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (1/6, já que há 6 faces no dado), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher k sucessos em n tentativas. Substituindo os valores: - \( n = 4 \) - \( k = 1 \) - \( p = \frac{1}{6} \) Calculamos: 1. O coeficiente binomial \( \binom{4}{1} = 4 \). 2. A probabilidade de sucesso \( p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^1 = \frac{1}{6} \). 3. A probabilidade de falha \( (1-p)^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{4-1} = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \). Agora, juntando tudo: \[ P(X = 1) = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} = \frac{500}{1296} \approx 0.386 \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse valor. Portanto, parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na formulação da pergunta. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!