Qual é a derivada de \(f(x) = x e^{2x}\)? a) e^{2x} + 2xe^{2x} b) e^{2x}(1 + 2x) c) 2x e^{2x} d) xe^{2x}

Para encontrar a derivada da função \(f(x) = x e^{2x}\), vamos usar a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \(u(x)\) e \(v(x)\) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \(u(x) = x\) e \(u'(x) = 1\) - \(v(x) = e^{2x}\) e \(v'(x) = 2e^{2x}\) (usando a regra da cadeia) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = u'v + uv' = (1)(e^{2x}) + (x)(2e^{2x}) = e^{2x} + 2xe^{2x} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(e^{2x} + 2xe^{2x}\) - Correto, é a derivada que encontramos. b) \(e^{2x}(1 + 2x)\) - Esta é uma forma equivalente da alternativa (a), mas não é a forma direta que encontramos. c) \(2x e^{2x}\) - Incorreto, falta o termo \(e^{2x}\). d) \(xe^{2x}\) - Incorreto, é a função original, não a derivada. Portanto, a alternativa correta é: a) \(e^{2x} + 2xe^{2x}\).