Problema 78: Determine a derivada de \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\). a) \frac{2x}{x^2 + 1} b) \frac{1}{x^2 + 1} c) \frac{2}{x^2 + 1} d) \frac{1}{x}

Para determinar a derivada da função \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\), vamos aplicar a regra da cadeia. 1. A derivada de \(\ln(u)\) é \(\frac{1}{u} \cdot u'\), onde \(u = x^2 + 1\). 2. Primeiro, encontramos \(u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x\). 3. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \] Analisando as alternativas: a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\) - Correta. b) \(\frac{1}{x^2 + 1}\) - Incorreta. c) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) - Incorreta. d) \(\frac{1}{x}\) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{2x}{x^2 + 1}\).