Para encontrar a série de Taylor de \( \ln(1+x) \) em torno de \( x = 0 \), podemos usar a fórmula da série de Taylor: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots \] Calculando as derivadas de \( f(x) = \ln(1+x) \): 1. \( f(0) = \ln(1+0) = 0 \) 2. \( f'(x) = \frac{1}{1+x} \) e \( f'(0) = 1 \) 3. \( f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} \) e \( f''(0) = -1 \) 4. \( f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3} \) e \( f'''(0) = 2 \) Assim, a série de Taylor fica: \[ \ln(1+x) = 0 + 1 \cdot x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \ldots \] Portanto, a série de Taylor de \( \ln(1+x) \) em torno de \( x = 0 \) é: a) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \) A alternativa correta é a) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \).