Grátis: Problema 38: Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)? a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) d) ...

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Problema 38: Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?

a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)
b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)
c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)
d) \( \frac{1}{x} \)

Questões Para a Compreensão

há 10 meses

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Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), vamos usar a regra da cadeia. 1. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = x^2 + 1 \). 2. Primeiro, encontramos \( u' \): - \( u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x \). 3. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}. \] Analisando as alternativas: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) - Correta. b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) - Incorreta. c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) - Incorreta. d) \( \frac{1}{x} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \).

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Problema 32: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{4x^2 - 5} \).

a) \( 0 \)
b) \( 1 \)
c) \( \frac{1}{2} \)
d) \( \infty \)

Problema 33: Qual é a série de Taylor de \( \ln(1+x) \) em torno de \( x = 0 \)?

a) \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \)
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d) \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \)

Problema 34: Calcule a integral \(\int_0^1 (x^2 + 1) \, dx\).

a) \( \frac{1}{3} \)
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Problema 35: Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \)?

a) \( -\frac{1}{x^2} \)
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c) \( -x^{-1} \)
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a) \( 6 \)
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37. Problema 37: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \).

A) 1
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Problema 39: Encontre a integral \( \int (3x^2 - 2) \, dx \).

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b) \( x^3 + C \)
c) \( 2x^3 - 2x + C \)
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Problema 40: Calcule \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2) \, dx \).

a) \( \frac{1}{4} \)
b) \( \frac{1}{3} \)
c) \( \frac{1}{2} \)
d) \( \frac{5}{12} \)

Problema 41: Qual é a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2y + 3 \) com a condição inicial \( y(0) = 1 \)?

a) \( y = e^{2x} + 1 \)
b) \( y = \frac{3}{2} e^{2x} + \frac{3}{2} \)
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