O que é a integral \( \int_0^{\infty} e^{-x^2} dx \)? a) \( \sqrt{\pi} \) b) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \) c) \( 1 \) d) \( \infty \)

Para resolver a integral \( \int_0^{\infty} e^{-x^2} dx \), podemos usar o resultado conhecido que relaciona essa integral com a função gama ou a integral gaussiana. A integral completa de \( e^{-x^2} \) de \(-\infty\) a \(+\infty\) é igual a \( \sqrt{\pi} \). Como estamos considerando apenas a parte de \(0\) a \(+\infty\), essa integral é metade do valor total. Portanto, temos: \[ \int_0^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \] Assim, a alternativa correta é: b) \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \).