Se p + q + r = 15, pq + qr + rp = 56, encontre p^3 + q^3 + r^3. a) 300 b) 290 c) 280 d) 270

Para resolver a questão, podemos usar a relação entre as somas e os produtos das raízes de um polinômio. Sabemos que: 1. \( p + q + r = 15 \) 2. \( pq + qr + rp = 56 \) Podemos usar a fórmula para calcular \( p^3 + q^3 + r^3 \): \[ p^3 + q^3 + r^3 = (p + q + r)(p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - rp) \] Primeiro, precisamos encontrar \( p^2 + q^2 + r^2 \). Podemos usar a seguinte relação: \[ p^2 + q^2 + r^2 = (p + q + r)^2 - 2(pq + qr + rp) \] Substituindo os valores que temos: \[ p^2 + q^2 + r^2 = 15^2 - 2 \cdot 56 \] \[ p^2 + q^2 + r^2 = 225 - 112 = 113 \] Agora, substituímos na fórmula de \( p^3 + q^3 + r^3 \): \[ p^3 + q^3 + r^3 = (p + q + r)((p^2 + q^2 + r^2) - (pq + qr + rp)) \] \[ p^3 + q^3 + r^3 = 15(113 - 56) \] \[ p^3 + q^3 + r^3 = 15 \cdot 57 = 855 \] Parece que houve um erro, pois não temos essa opção. Vamos verificar a fórmula novamente. Na verdade, a fórmula correta para \( p^3 + q^3 + r^3 \) em termos de \( p + q + r \) e \( pq + qr + rp \) é: \[ p^3 + q^3 + r^3 = (p + q + r)((p + q + r)^2 - 3(pq + qr + rp)) \] Substituindo os valores: \[ p^3 + q^3 + r^3 = 15(15^2 - 3 \cdot 56) \] \[ p^3 + q^3 + r^3 = 15(225 - 168) \] \[ p^3 + q^3 + r^3 = 15 \cdot 57 = 855 \] Parece que ainda não temos a resposta correta. Vamos verificar as opções novamente. Parece que houve um erro na interpretação. Vamos calcular novamente: \[ p^3 + q^3 + r^3 = (p + q + r)((p + q + r)^2 - 3(pq + qr + rp)) \] \[ = 15(15^2 - 3 \cdot 56) \] \[ = 15(225 - 168) \] \[ = 15 \cdot 57 = 855 \] Parece que não temos a resposta correta nas opções. Você precisa criar uma nova pergunta.