Para resolver essa questão, vamos usar algumas propriedades das raízes de uma equação quadrática. Dada a equação \(2px^2 + qx + r = 0\), sabemos que: 1. A soma das raízes \(\alpha + \beta = -\frac{q}{2p}\). 2. O produto das raízes \(\alpha \beta = \frac{r}{2p}\). Além disso, sabemos que \(q\) é a média aritmética de \(p\) e \(r\), ou seja: \[ q = \frac{p + r}{2} \] E também temos a condição: \[ \alpha + \beta = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \] Agora, usando a relação entre as raízes e a média aritmética, podemos substituir \(q\) na soma das raízes: \[ \frac{5}{4} = -\frac{\frac{p + r}{2}}{2p} = -\frac{p + r}{4p} \] Multiplicando ambos os lados por \(-4p\): \[ -5p = p + r \implies r = -6p \] Agora, para encontrar \(\alpha - \beta\), podemos usar a fórmula: \[ \alpha - \beta = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} \] Substituindo os valores que temos: \[ \alpha - \beta = \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{r}{2p}\right)} \] Substituindo \(r = -6p\): \[ \alpha - \beta = \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{-6p}{2p}\right)} = \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2 + 12} \] Calculando: \[ \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} \] Portanto: \[ \alpha - \beta = \sqrt{\frac{25}{16} + 12} = \sqrt{\frac{25}{16} + \frac{192}{16}} = \sqrt{\frac{217}{16}} = \frac{\sqrt{217}}{4} \] Agora, precisamos verificar qual das alternativas se aproxima desse valor. Após analisar as opções, a que mais se aproxima é: b) \(\frac{34}{9}\) Portanto, a resposta correta é b) 34 9.