Problema 21: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). a) \( 1 \) b) \( 0 \) c) \( \infty \) d) \( -1 \)

Para resolver o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \), podemos usar a regra de L'Hôpital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando \( x \) se aproxima de 0. Aplicando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador: 1. A derivada de \( \ln(1 + x) \) é \( \frac{1}{1 + x} \). 2. A derivada de \( x \) é \( 1 \). Assim, temos: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} = \frac{1}{1 + 0} = 1. \] Portanto, o valor do limite é \( 1 \). A alternativa correta é: a) \( 1 \).