Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \tan^{-1}(x^2) \), vamos usar a regra da cadeia. A derivada da função inversa \( \tan^{-1}(u) \) é \( \frac{1}{1+u^2} \), onde \( u = x^2 \). 1. Primeiro, derivamos \( u = x^2 \): \[ \frac{du}{dx} = 2x \] 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \tan^{-1}(u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx} \] Substituindo \( u = x^2 \): \[ f'(x) = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{2x}{1+x^4} \) - Correto. b) \( \frac{1}{1+x^4} \) - Incorreto. c) \( \frac{2x}{1+x^2} \) - Incorreto. d) \( \frac{2x^2}{1+x^4} \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{2x}{1+x^4} \).