Para encontrar a série de Fourier da função \( f(x) = x \) no intervalo \([-\pi, \pi]\), precisamos calcular os coeficientes \( a_0 \), \( a_n \) e \( b_n \). 1. Cálculo de \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \, dx = 0 \] 2. Cálculo de \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos(nx) \, dx = 0 \quad (\text{por simetria}) \] 3. Cálculo de \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \, dx \] Usando integração por partes, obtemos: \[ b_n = \frac{2}{n} \quad (\text{para } n \geq 1) \] Portanto, a série de Fourier da função \( f(x) = x \) é dada por: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} \sin(nx) \] Analisando as alternativas: a) \( a_0 + \sum (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \) - Esta é a forma geral, mas não é a resposta específica. b) \( \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sin(nx) \) - Incorreta, pois o coeficiente não é \( \frac{1}{n^2} \). c) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} \sin(nx) \) - Correta, corresponde à série de Fourier encontrada. d) \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (\frac{2}{n+2}) \sin(nx) \) - Incorreta, não corresponde à série de Fourier. Portanto, a alternativa correta é: c) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} \sin(nx) \).