Grátis: 12 Resolver os seguintes sistemas lineares. (a) { 2x1 − 2x2 − 3x3 = −2; 3x1 − 3x2 − 2x3 + 5x4 = 7; x1 − x2 − 2x3 − x4 = −3; } (b) { x1 + 2x2 − 4x3 ...

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12 Resolver os seguintes sistemas lineares. (a) { 2x1 − 2x2 − 3x3 = −2; 3x1 − 3x2 − 2x3 + 5x4 = 7; x1 − x2 − 2x3 − x4 = −3; } (b) { x1 + 2x2 − 4x3 − x4 + x5 = 7; −x1 + 10x3 − 3x4 − 4x5 = −16; 2x1 + 5x2 − 5x3 − 4x4 − x5 = 2; 4x1 + 11x2 − 7x3 − 10x4 − 2x5 = 7; }

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1 Seja V espaço vetorial. Mostrar que: (a) para todo v ∈ V existe um único v′ ∈ V tal que v + v′ = 0; (b) para todo r ∈ R temos r 0 = 0.

2 Sejam V um espaço vetorial, v, v1, v2 ∈ V e a, b ∈ R. Verificar a veracidade de cada afirmação abaixo. (a) Se av = bv, então a = b; (b) Se av1 = av2, então v1 = v2.

3 Seja n um inteiro positivo fixado. O conjunto dos polinômios de grau n munido com as operações usuais é um espaço vetorial?

4 Seja V = {(a, b) ∈ R×R} munido com as seguintes operações: (a1, b1)+(a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2) e r(a, b) = (ra, 0). O conjunto V é um espaço vetorial com estas operações?

5 Seja V = {(a, b) ∈ R×R} munido com as seguintes operações: (a1, b1)+(a2, b2) = (a1 + a2, b1b2) e r(a, b) = (ra, b). O conjunto V é um espaço vetorial com estas operações?

7 Seja Mn(R) o espaço vetorial das matrizes quadradas com as operações usuais. Se m ∈ Mn(R) podemos definir o traço de m como sendo a soma dos elementos da sua diagonal principal (notação Tr(m)). Verificar que o conjunto das matrizes tais que o traço é zero é um subespaço de Mn(R).

8 Sejam V um espaço vetorial. Verificar a veracidade de cada afirmação abaixo. (a) Se W é um subconjunto de V tal que W é um espaço vetorial, então W é subespaço vetorial de V; (b) O conjunto vazio é um subespaço vetorial de V.

9 Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços de R3. (a) W = {(a1, a2, a3) | a1 = 3a2 e a3 = −a2}; (b) W = {(a1, a2, a3) | a21 + a2 + a3 = 0}.

10 Seja S um conjunto arbitrário. Temos que o conjunto F (S,R) das funções de S em R munido com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e r.[f(x)] = rf(x) é um espaço vetorial. Verificar que W = {f ∈ F (S,R) | f(s0) = 0} é um subespaço vetorial de F (S,R), onde s0 ∈ S.

11 Sejam W1 e W2 subespaços de V. O conjunto W1 ∪W2 é subespaço de V? Caso a resposta seja não, encontrar e provar uma condição necessária e suficiente sobre W1 e W2 para que W1 ∪W2 seja subespaço vetorial de V.

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1 Seja V espaço vetorial. Mostrar que: (a) para todo v ∈ V existe um único v′ ∈ V tal que v + v′ = 0; (b) para todo r ∈ R temos r 0 = 0.

2 Sejam V um espaço vetorial, v, v1, v2 ∈ V e a, b ∈ R. Verificar a veracidade de cada afirmação abaixo. (a) Se av = bv, então a = b; (b) Se av1 = av2, então v1 = v2.

3 Seja n um inteiro positivo fixado. O conjunto dos polinômios de grau n munido com as operações usuais é um espaço vetorial?

4 Seja V = {(a, b) ∈ R×R} munido com as seguintes operações: (a1, b1)+(a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2) e r(a, b) = (ra, 0). O conjunto V é um espaço vetorial com estas operações?

5 Seja V = {(a, b) ∈ R×R} munido com as seguintes operações: (a1, b1)+(a2, b2) = (a1 + a2, b1b2) e r(a, b) = (ra, b). O conjunto V é um espaço vetorial com estas operações?

7 Seja Mn(R) o espaço vetorial das matrizes quadradas com as operações usuais. Se m ∈ Mn(R) podemos definir o traço de m como sendo a soma dos elementos da sua diagonal principal (notação Tr(m)). Verificar que o conjunto das matrizes tais que o traço é zero é um subespaço de Mn(R).

8 Sejam V um espaço vetorial. Verificar a veracidade de cada afirmação abaixo. (a) Se W é um subconjunto de V tal que W é um espaço vetorial, então W é subespaço vetorial de V; (b) O conjunto vazio é um subespaço vetorial de V.

9 Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços de R3. (a) W = {(a1, a2, a3) | a1 = 3a2 e a3 = −a2}; (b) W = {(a1, a2, a3) | a21 + a2 + a3 = 0}.

10 Seja S um conjunto arbitrário. Temos que o conjunto F (S,R) das funções de S em R munido com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e r.[f(x)] = rf(x) é um espaço vetorial. Verificar que W = {f ∈ F (S,R) | f(s0) = 0} é um subespaço vetorial de F (S,R), onde s0 ∈ S.

11 Sejam W1 e W2 subespaços de V. O conjunto W1 ∪W2 é subespaço de V? Caso a resposta seja não, encontrar e provar uma condição necessária e suficiente sobre W1 e W2 para que W1 ∪W2 seja subespaço vetorial de V.

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