Um dado é lançado 5 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,3 D) 0,35

Para resolver essa questão, precisamos usar a fórmula da probabilidade binomial, que é dada por: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] onde: - \( n \) é o número total de lançamentos (neste caso, 5), - \( k \) é o número de sucessos desejados (neste caso, 3), - \( p \) é a probabilidade de sucesso em um único lançamento (para um dado, a probabilidade de sair cara é 0,5), - \( \binom{n}{k} \) é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher \( k \) sucessos em \( n \) tentativas. Substituindo os valores: 1. \( n = 5 \) 2. \( k = 3 \) 3. \( p = 0,5 \) Calculamos o coeficiente binomial: \[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] Agora, substituímos na fórmula: \[ P(X = 3) = 10 \times (0,5)^3 \times (0,5)^{5-3} \] \[ P(X = 3) = 10 \times (0,5)^3 \times (0,5)^2 \] \[ P(X = 3) = 10 \times (0,5)^5 \] \[ P(X = 3) = 10 \times \frac{1}{32} \] \[ P(X = 3) = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \approx 0,3125 \] Analisando as alternativas: A) 0,2 B) 0,25 C) 0,3 D) 0,35 A probabilidade calculada de aproximadamente 0,3125 se aproxima mais de 0,3. Portanto, a alternativa correta é: C) 0,3.