Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^3 - 3x + 2) \, dx\)? A) \(0\) B) \(1\) C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{1}{3}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^3 - 3x + 2) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(f(x) = x^3 - 3x + 2\). 1. A antiderivada de \(x^3\) é \(\frac{x^4}{4}\). 2. A antiderivada de \(-3x\) é \(-\frac{3x^2}{2}\). 3. A antiderivada de \(2\) é \(2x\). Assim, a antiderivada \(F(x)\) é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): - \(F(1) = \frac{1^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\) \[ = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = \frac{1 - 6 + 8}{4} = \frac{3}{4} \] - \(F(0) = \frac{0^4}{4} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0 = 0\) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_0^1 (x^3 - 3x + 2) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{3}{4} - 0 = \frac{3}{4} \] Como \(\frac{3}{4}\) não está entre as opções, parece que houve um erro nas alternativas. No entanto, a resposta correta para a integral é \(\frac{3}{4}\). Se precisar de mais ajuda, é só avisar!