Qual é o resultado da integral ∫ x \ln(x) \, dx? a) \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C b) x^2 \ln(x) + C c) 2x\ln(x) + C d) x\ln(x) + C

Para resolver a integral \(\int x \ln(x) \, dx\), podemos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Vamos escolher: - \(u = \ln(x)\) \(\Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx\) - \(dv = x \, dx\) \(\Rightarrow v = \frac{x^2}{2}\) Agora, aplicando a fórmula: \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] Simplificando a integral restante: \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \int x \, dx \] Calculando a integral de \(x\): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] Substituindo de volta: \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C \] Isso resulta em: \[ \int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C \] Portanto, a alternativa correta é: a) \(\frac{x^2}{2} \ln(x) - \frac{x^2}{4} + C\)