Qual é o valor da integral \int_1^3 (x^2 + 2x + 1) \, dx? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12

Para calcular a integral \(\int_1^3 (x^2 + 2x + 1) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(x^2 + 2x + 1\). 1. A antiderivada de \(x^2\) é \(\frac{x^3}{3}\). 2. A antiderivada de \(2x\) é \(x^2\). 3. A antiderivada de \(1\) é \(x\). Portanto, a antiderivada de \(x^2 + 2x + 1\) é: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + x \] Agora, vamos calcular \(F(3)\) e \(F(1)\): \[ F(3) = \frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 = \frac{27}{3} + 9 + 3 = 9 + 9 + 3 = 21 \] \[ F(1) = \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3} \] Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_1^3 (x^2 + 2x + 1) \, dx = F(3) - F(1) = 21 - \frac{7}{3} \] Para subtrair, vamos expressar 21 como uma fração com denominador 3: \[ 21 = \frac{63}{3} \] Então: \[ \int_1^3 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{63}{3} - \frac{7}{3} = \frac{56}{3} \] Agora, vamos verificar as alternativas: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \(\frac{56}{3}\), que é aproximadamente 18,67. Parece que houve um erro nas opções fornecidas, pois o valor correto da integral não está listado. Você pode querer verificar as opções novamente.