Para encontrar a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^5 + 1} \), vamos usar a regra da cadeia. 1. Primeiro, reescrevemos a função como \( f(x) = (x^5 + 1)^{1/2} \). 2. Aplicamos a regra da cadeia: se \( u = x^5 + 1 \), então \( f(x) = u^{1/2} \). 3. A derivada de \( f \) em relação a \( u \) é \( \frac{df}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} \). 4. A derivada de \( u \) em relação a \( x \) é \( \frac{du}{dx} = 5x^4 \). 5. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ \frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2}(x^5 + 1)^{-1/2} \cdot 5x^4. \] 6. Simplificando, temos: \[ \frac{df}{dx} = \frac{5x^4}{2\sqrt{x^5 + 1}}. \] Agora, analisando as alternativas: A) \( \frac{5x^4}{2\sqrt{x^5 + 1}} \) - Correta. B) \( \frac{1}{\sqrt{x^5 + 1}} \) - Incorreta. C) \( \frac{5x^4}{\sqrt{x^5 + 1}} \) - Incorreta. D) \( \frac{1}{5x^4 + 1} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \frac{5x^4}{2\sqrt{x^5 + 1}} \).