Grátis: Determine a derivada de f(x) = arctan(x^2). a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) b) \( \frac{2x}{1 + x^2} \) c) \( \frac{1}{1 + x^2} \) d) \( \frac{2x^2}{1...

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Determine a derivada de f(x) = arctan(x^2).

a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \)
b) \( \frac{2x}{1 + x^2} \)
c) \( \frac{1}{1 + x^2} \)
d) \( \frac{2x^2}{1 + x^4} \)

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Para determinar a derivada da função \( f(x) = \arctan(x^2) \), utilizamos a regra da cadeia. A derivada da função \( \arctan(u) \) em relação a \( u \) é \( \frac{1}{1 + u^2} \), e precisamos multiplicar isso pela derivada de \( u = x^2 \). 1. A derivada de \( u = x^2 \) é \( \frac{du}{dx} = 2x \). 2. Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^4}. \] Analisando as alternativas: a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \) - Correto. b) \( \frac{2x}{1 + x^2} \) - Incorreto. c) \( \frac{1}{1 + x^2} \) - Incorreto. d) \( \frac{2x^2}{1 + x^4} \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{2x}{1 + x^4} \).

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Calcule o limite lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}.

A) 0
B) 1
C) 2
D) \infty

Determine a integral \( \int_0^{\pi} \cos^2(x) \, dx \).

a) \( \frac{\pi}{2} \)
b) \( \frac{\pi}{4} \)
c) \( \frac{\pi}{3} \)
d) \( \frac{\pi}{6} \)

Calcule a derivada de \(f(x) = x^3 \ln(x)\).

A) \(3x^2 \ln(x) + x^2\)

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a) 0
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