Para calcular a série de Taylor da função \(f(x) = e^x\) em torno de \(x = 0\) até o termo de \(x^4\), utilizamos a fórmula da série de Taylor: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \ldots \] Para a função \(e^x\), todas as derivadas em \(x = 0\) são iguais a 1. Portanto: - \(f(0) = e^0 = 1\) - \(f'(0) = 1\) - \(f''(0) = 1\) - \(f'''(0) = 1\) - \(f^{(4)}(0) = 1\) Substituindo na fórmula, temos: \[ f(x) = 1 + 1 \cdot x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 \] Isso resulta em: \[ f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} \] Agora, analisando as alternativas: a) \(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\) - Esta está correta. b) \(1 + x + x^2 + x^3 + x^4\) - Esta não está correta. c) \(1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}\) - Esta é uma forma equivalente, mas não está na forma expandida. d) \(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}\) - Esta não está correta. Portanto, a alternativa correta é: a) \(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}\).