Calcule a integral definida: \(\int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + 5) \, dx\) a) 6 b) 5 c) 4 d) 3

Para calcular a integral definida \(\int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + 5) \, dx\), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \(4x^3 - 2x^2 + 5\). 1. A antiderivada de \(4x^3\) é \(x^4\). 2. A antiderivada de \(-2x^2\) é \(-\frac{2}{3}x^3\). 3. A antiderivada de \(5\) é \(5x\). Assim, a antiderivada completa é: \[ F(x) = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x \] Agora, vamos calcular \(F(1)\) e \(F(0)\): - \(F(1) = 1^4 - \frac{2}{3}(1^3) + 5(1) = 1 - \frac{2}{3} + 5 = 1 - \frac{2}{3} + \frac{15}{3} = \frac{14}{3}\) - \(F(0) = 0^4 - \frac{2}{3}(0^3) + 5(0) = 0\) Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: \[ \int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + 5) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{14}{3} - 0 = \frac{14}{3} \] Como \(\frac{14}{3} \approx 4.67\), a alternativa correta mais próxima é a letra b) 5.