Para encontrar \(f''(x)\) da função \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\), precisamos calcular a primeira e a segunda derivada. 1. Primeira derivada \(f'(x)\): Usamos a regra da cadeia: \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \] 2. Segunda derivada \(f''(x)\): Agora, derivamos \(f'(x)\): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{x^2 + 1}\right) \] Usamos a regra do quociente: \[ f''(x) = \frac{(x^2 + 1)(2) - (2x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \] Simplificando: \[ f''(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} \] Agora, analisando as alternativas: a) \(\frac{2}{x^2 + 1}\) - Não é a resposta correta. b) \(-\frac{2}{(x^2 + 1)^2}\) - Não é a resposta correta. c) \(\frac{4}{(x^2 + 1)^2}\) - Não é a resposta correta. d) \(-\frac{4}{(x^2 + 1)^2}\) - Não é a resposta correta. Nenhuma das alternativas parece corresponder ao resultado que encontramos. O correto seria \(\frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}\). Parece que a pergunta não tem a resposta correta entre as opções fornecidas. Você pode verificar se as alternativas estão completas ou se há um erro.