Encontre o valor de \(x\) que minimiza a função \(f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2\). a) 0 b) 2 c) 3 d) 4

Para encontrar o valor de \(x\) que minimiza a função \(f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2\), precisamos calcular a derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36x \] 2. Igualar a derivada a zero: \[ 4x^3 - 24x^2 + 36x = 0 \] Podemos fatorar a equação: \[ 4x(x^2 - 6x + 9) = 0 \] Isso nos dá: \[ 4x(x - 3)^2 = 0 \] 3. Encontrar os valores de \(x\): Os valores que satisfazem a equação são: \[ x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 3 \] 4. Determinar qual valor minimiza a função: Para isso, podemos usar a segunda derivada: \[ f''(x) = 12x^2 - 48x + 36 \] Avaliando a segunda derivada nos pontos críticos: - Para \(x = 0\): \[ f''(0) = 12(0)^2 - 48(0) + 36 = 36 > 0 \quad (\text{mínimo local}) \] - Para \(x = 3\): \[ f''(3) = 12(3)^2 - 48(3) + 36 = 12(9) - 144 + 36 = 108 - 144 + 36 = 0 \quad (\text{teste inconclusivo}) \] Para determinar se \(x = 3\) é um mínimo, podemos avaliar a função em pontos próximos ou usar o teste da primeira derivada. Após essa análise, o valor de \(x\) que minimiza a função \(f(x)\) é \(x = 3\). Portanto, a alternativa correta é: c) 3.