Determine o valor de \(c\) tal que a função \(f(x) = x^3 - 3cx + 2\) tenha uma raiz dupla. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Para que a função \(f(x) = x^3 - 3cx + 2\) tenha uma raiz dupla, precisamos que a derivada da função também se anule na mesma raiz. Primeiro, vamos calcular a derivada da função: \[ f'(x) = 3x^2 - 3c \] Agora, para que \(f(x)\) tenha uma raiz dupla, devemos ter \(f(r) = 0\) e \(f'(r) = 0\) para algum valor \(r\). Igualando a derivada a zero: \[ 3r^2 - 3c = 0 \implies c = r^2 \] Agora, substituímos \(c\) na função original: \[ f(r) = r^3 - 3(r^2) + 2 = 0 \] Substituindo \(c = r^2\): \[ r^3 - 3r^2 + 2 = 0 \] Agora, vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Podemos testar os valores das alternativas: 1. Para \(c = 1\) (ou seja, \(r^2 = 1 \Rightarrow r = 1\)): \[ f(1) = 1^3 - 3(1^2) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \quad \text{(raiz dupla)} \] 2. Para \(c = 2\) (ou seja, \(r^2 = 2 \Rightarrow r = \sqrt{2}\)): \[ f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 3(2) + 2 \neq 0 \] 3. Para \(c = 3\) (ou seja, \(r^2 = 3 \Rightarrow r = \sqrt{3}\)): \[ f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 3(3) + 2 \neq 0 \] 4. Para \(c = 4\) (ou seja, \(r^2 = 4 \Rightarrow r = 2\)): \[ f(2) = 2^3 - 3(4) + 2 = 8 - 12 + 2 \neq 0 \] A única alternativa que resulta em uma raiz dupla é a) 1. Portanto, a resposta correta é: a) 1.