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Geometria Analítica

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Quando falamos sobre a posição relativa de dois vetores e analisamos o ângulo formado entre eles, há duas operações vetoriais que possibilitam determinar exatamente o ângulo formado ou simplesmente fazer uma analogia com relação a estes ângulos e determinar uma denominação apropriada àquela posição. Pensando nisso, determine qual alternativa apresenta a classificação relativa ao ângulo formado pelos vetores u = (-2, 4, -1) e v = (4, 1, -3). Analise as sentenças a seguir: I. Os vetores são perpendiculares. II. Os vetores formam um ângulo agudo. III. Os vetores formam um ângulo obtuso. IV. Os vetores são complementares. Assinale a alternativa CORRETA:

A Somente a sentença IV está correta.
B Somente a sentença I está correta.
C Somente a sentença II está correta.
D Somente a sentença III está correta.
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Para determinar a relação entre os vetores \( u = (-2, 4, -1) \) e \( v = (4, 1, -3) \), precisamos calcular o produto escalar e o ângulo formado entre eles. 1. Produto Escalar: O produto escalar \( u \cdot v \) é dado por: \[ u \cdot v = (-2) \cdot 4 + 4 \cdot 1 + (-1) \cdot (-3) = -8 + 4 + 3 = -1 \] 2. Classificação do Ângulo: - Se o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares. - Se o produto escalar é positivo, os vetores formam um ângulo agudo. - Se o produto escalar é negativo, os vetores formam um ângulo obtuso. Como o produto escalar \( u \cdot v = -1 \) é negativo, isso indica que os vetores formam um ângulo obtuso. Agora, vamos analisar as sentenças: I. Os vetores são perpendiculares. FALSO (produto escalar não é zero). II. Os vetores formam um ângulo agudo. FALSO (produto escalar é negativo). III. Os vetores formam um ângulo obtuso. VERDADEIRO (produto escalar é negativo). IV. Os vetores são complementares. FALSO (são complementares se o ângulo entre eles for 90°, o que não é o caso). Portanto, a única sentença correta é a III. A alternativa correta é: D Somente a sentença III está correta.

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A figura que segue apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se também que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de conhecimento também, cada segmento de reta que é criado com todas estas intersecções pode ser considerado como sendo as extremidades de um vetor. Com base no exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) São iguais os vetores definidos por EH e FG ( ) São iguais os vetores definidos por DH e FB ( ) São iguais os vetores definidos por GC e EA ( ) São iguais os vetores definidos por HG e FE ( ) São iguais os vetores definidos por OG e AF Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:

A V - V - F - F - V.
B V - F - V - V - F.
C F - V - F - V - F.
D F - V - V - F - V.

A normalização de um vetor é a simples transformação dele em um vetor unitário caso não seja. Este é um dos processos utilizados para delimitar vetores que são ortonormais (como nos estudos no Processo de GRAM-SCHMIDT), ou seja, além de serem ortogonais entre si, possuem comprimento igual a 1. Determine qual dos itens a seguir apresenta a normalização do vetor v = (4, -4, -2): I. u = (4/5, -4/5, -2/5) II. u = (2/3, -2/3, -1/3) III. u = (4/7, -4/7, -2/7) IV. u = (2, -2, -1) Assinale a alternativa CORRETA:

A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção IV está correta.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida, então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de subtração e multiplicação por escalar. ( ) Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares. ( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço. ( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:

A F - F - F - F.
B F - V - V - F.
C V - F - V - F.
D V - V - F - V.

Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LI:

A) {(1, -2, 3), (2, 0, 1), (-2, 2, 1)}


B) {(2, 1, -1), (0, 0, 1), (2, 1, 0)}


C) {(3, -2, 1), (2, 1, 3), (-1, 2, 1)}


D) {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, -2, 3)}

O tetraedro regular é um sólido platônico representante do elemento fogo, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais). É então constituído por 4 vértices, 4 faces e 6 arestas. Para definirmos um tetraedro qualquer por vetores, devemos representá-lo por três vetores, os quais representam suas arestas principais, sendo as outras três representações congruentes às citadas. Dado que um tetraedro está definido pelos vetores u = (-3, -4, 2), v = (-1, 2, -2) e w = (2, 0, -1), sobre o volume do tetraedro, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) 1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) 4. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:

A F - F - F - V.
B F - F - V - F.
C V - F - F - F.
D F - V - F - F.

4. As operações vetoriais existentes são a soma e a multiplicação por um escalar. Combinando estas operações podemos realizar uma série de outros vetores que podem ser aplicados em diversas áreas. Sendo assim, dados os vetores u = (1, -2) e v = (3,-3), assinale a alternativa CORRETA que apresenta o vetor resultante da operação w = 3u - 2v:
a) w = (4,5).
b) w = (-3,0).
c) w = (2,-1).
d) w = (0,-3).

O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, em que o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Quanto ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (1, 2, 2) e v = (3, 0, 2), analise as sentenças a seguir: I. u x v = (4, -4, 6) II. u x v = (4, 4, -6) III. u x v = (-4, -4, 6) IV. u x v = (-4, 4, -6) Assinale a alternativa CORRETA:

A Somente a sentença III está correta.
B Somente a sentença II está correta.
C Somente a sentença IV está correta.
D Somente a sentença I está correta.

Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. Porém, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a posição destas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores, quais das opções a seguir apresentam somente os itens que são ortogonais: I - u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, 2) II - u = (4, -4, 2) e v = (0, 1, 2) III - u = (-1, -1, 2) e v = (2, 1, 3) IV - u = (0, 3, -1) e v = (-3, -2, -4) V - u = (-2, 5, 1) e v = (1, 1, -3) Assinale a alternativa CORRETA:

A As opções I, II e IV estão corretas.
B As opções I e IV estão corretas.
C As opções III e V estão corretas.
D As opções II e V estão corretas.

No estudo dos Espaços Vetoriais, podemos realizar a análise de sua dimensão. Podemos relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações deste conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a 2n. ( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômio de grau 3 é igual a 3. ( ) A dimensão do R² é igual a 2. ( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:

A V - F - F - F.
B V - F - V - V.
C F - V - F - V.
D F - F - V - V.

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