Se z = re^{iθ}, o que é z^3? a) r^3 e^{iθ^3} b) r^3 e^{3iθ} c) r^3 e^{iθ} d) r e^{3iθ}

Para resolver a questão, vamos aplicar a propriedade das potências de números complexos na forma polar. Se \( z = re^{iθ} \), então para calcular \( z^3 \), usamos a seguinte regra: \[ z^n = r^n e^{inθ} \] Portanto, para \( z^3 \): \[ z^3 = (re^{iθ})^3 = r^3 e^{i(3θ)} \] Analisando as alternativas: a) \( r^3 e^{iθ^3} \) - Incorreto, pois o ângulo não é elevado ao cubo. b) \( r^3 e^{3iθ} \) - Correto, pois segue a regra que encontramos. c) \( r^3 e^{iθ} \) - Incorreto, pois não eleva o ângulo. d) \( r e^{3iθ} \) - Incorreto, pois não eleva o módulo. Portanto, a alternativa correta é: b) \( r^3 e^{3iθ} \).