Para encontrar a forma polar do número complexo \( z = 2i + \sqrt{3} \), precisamos primeiro identificar a parte real e a parte imaginária. 1. Identificação das partes: - Parte real: \( \text{Re}(z) = \sqrt{3} \) - Parte imaginária: \( \text{Im}(z) = 2 \) 2. Cálculo do módulo: O módulo \( r \) é dado por: \[ r = \sqrt{(\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (2)^2} = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7} \] 3. Cálculo do argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \] Sabemos que \( \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} \), então: \[ \theta = \frac{\pi}{3} \] 4. Forma polar: A forma polar é dada por: \[ z = r \text{cis}(\theta) = \sqrt{7} \text{cis}\left(\tan^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\right) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( 2\sqrt{3} \text{cis} \left(\frac{\pi}{3}\right) \) - Não é correta, pois o módulo não é \( 2\sqrt{3} \). b) \( \sqrt{4} \text{cis} \left(\frac{\pi}{2}\right) \) - Não é correta, pois o módulo não é \( 2 \) e o argumento não é \( \frac{\pi}{2} \). c) \( 3\text{cis}\left(\frac{1}{4}\right) \) - Não é correta, pois o módulo não é \( 3 \) e o argumento não é \( \frac{1}{4} \). d) \( \sqrt{7} \text{cis} \left(\frac{\pi}{3}\right) \) - Esta é a correta, pois o módulo é \( \sqrt{7} \) e o argumento é \( \frac{\pi}{3} \). Portanto, a alternativa correta é: d) \( \sqrt{7} \text{cis} \left(\frac{\pi}{3}\right) \).