Qual é o resultado de z^4, onde z = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))? A) 4 B) 4(cos(π) + i sin(π)) C) 0 D) -4

Para resolver a questão, vamos usar a forma polar do número complexo \( z \) e aplicar o Teorema de De Moivre. Dado que \( z = \sqrt{2}(\cos(\pi/4) + i \sin(\pi/4)) \), podemos identificar que: - O módulo de \( z \) é \( r = \sqrt{2} \). - O argumento de \( z \) é \( \theta = \pi/4 \). Quando elevamos \( z \) à quarta potência, aplicamos o Teorema de De Moivre: \[ z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)) \] Neste caso, \( n = 4 \): \[ z^4 = (\sqrt{2})^4 \left( \cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \right) \] Calculando: 1. \( (\sqrt{2})^4 = 2^2 = 4 \) 2. \( 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi \) Portanto: \[ z^4 = 4 \left( \cos(\pi) + i \sin(\pi) \right) \] Sabemos que: - \( \cos(\pi) = -1 \) - \( \sin(\pi) = 0 \) Assim, temos: \[ z^4 = 4(-1 + 0i) = -4 \] Portanto, a resposta correta é: D) -4.