Dados os pontos A(4, 0, -1) e B(2, -2, 1) e os vetores u = (2, 1, 1) e v = (-1, -2, 3), o vetor x tal que3x + 2v = x + (AB.u) v é:

Para resolver a equação \(3x + 2v = x + (AB \cdot u)v\), precisamos primeiro calcular o vetor \(AB\) e o produto escalar \(AB \cdot u\). 1. Calcular o vetor \(AB\): \[ AB = B - A = (2 - 4, -2 - 0, 1 - (-1)) = (-2, -2, 2) \] 2. Calcular o produto escalar \(AB \cdot u\): \[ u = (2, 1, 1) \] \[ AB \cdot u = (-2, -2, 2) \cdot (2, 1, 1) = (-2 \cdot 2) + (-2 \cdot 1) + (2 \cdot 1) = -4 - 2 + 2 = -4 \] 3. Substituir na equação: Agora substituímos \(AB \cdot u\) na equação: \[ 3x + 2v = x + (-4)v \] Simplificando: \[ 3x + 2v = x - 4v \] \[ 3x - x = -4v - 2v \] \[ 2x = -6v \] \[ x = -3v \] 4. Calcular \(x\): \[ v = (-1, -2, 3) \] \[ x = -3(-1, -2, 3) = (3, 6, -9) \] Portanto, o vetor \(x\) é \( (3, 6, -9) \).