Determine a integral \( \int_{0}^{1} (2x^2 - 3x + 1) \, dx \). a) \( 0 \) b) \( \frac{1}{3} \) c) \( \frac{1}{6} \) d) \( -\frac{1}{6} \)

Para resolver a integral \( \int_{0}^{1} (2x^2 - 3x + 1) \, dx \), vamos calcular a integral indefinida primeiro. 1. Calcular a integral indefinida: \[ \int (2x^2 - 3x + 1) \, dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x + C \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x \right]_{0}^{1} \] Agora, substituímos os limites: - Para \( x = 1 \): \[ \frac{2}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 + (1) = \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1 \] - Para \( x = 0 \): \[ \frac{2}{3}(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2 + (0) = 0 \] Agora, vamos calcular: \[ \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{2}{3} - \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{2}{3} - \frac{3}{6} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \] Para fazer a subtração, precisamos de um denominador comum, que é 6: \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \quad \text{e} \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \] Portanto: \[ \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6} \] Assim, o valor da integral \( \int_{0}^{1} (2x^2 - 3x + 1) \, dx \) é \( \frac{1}{6} \). Portanto, a alternativa correta é: c) \( \frac{1}{6} \).